【吴老师讲数学】2016年中考试题中的最值问题举例（一）

最值问题是近几年中考中的热点题型之一，它不但考察了学生对基本事实及函数性质的掌握情况，同时也发散了学生思维，提升了学生利用数学知识解决实际问题的能力.考察题型一般分为两类：一类为几何最值；一类为函数最值.

下面我们先来分析总结几何最值问题（函数最值之后继续），几何最值问题是根据题中条件求出一些几何量的最大值或最小值，如线段长度、图形的周长、图形的面积等的最值.

初中阶段我们学过两个非常重要的基本事实：一个是两点之间，线段最短；一个是点到直线的所有连线中垂线段最短.这两个基本事实为我们解决几何最值问题提供了理论基础和研究方向.我们初中教材中也逐步渗透了一些典型的几何最值模型.

下面我分类总结得出以下几点：一、点点线最短；二、点线点最短；三、点线线点最短；四、造桥选址最短；五、面积最小；同时列举一些2016中考中各省市出现的几何最值习题供大家一起探究，希望对同学们有些帮助.今天我们这期先探讨前三个问题：

一、点-点-线

点点线在这里指的是上面提到的两个基本事实的直接应用，考察点点之间，点线之间的最短距离，出题时常与三角形的三边关系结合.（如2016.安徽.10题、2016.河北.25题思考）

二、点-线-点

也称“两定一动”，即如图，平面上有直线l 外的两个定点A、B，请在直线l上找一点P，使得PA+PB最短.此类题目的做题方法一般是作点A关于直线l的对称点A'，再连接BA'与直线l交点即为所求的点P.所以解决此类问题的关键是找出题目中的定直线l及确定定点A、B.（如2016.天津.24题（Ⅲ））

三、点-线-线-点

也称为“两动一定”，即如图，平面上有直线a,b，在两直线外有一点A，请从直线a、b上分别找出两点P、Q，满足AP+PQ+QA最短.

此类题目的一般做法是：过点A分别作两条直线的的对称点A'、A''，连接A'、A''，分别交两直线于P、Q两点，即为所求.注意这类问题往往以求三角形的周长最小值或四边形的周长最小值为题目出现.（如练习中问题4和2016.陕西.25题⑵ ）

注：二、三两个类型的主要区别在于线的条数.

下面我们通过今年的中考题来大显身手吧！

练习：

1.（2016.安徽.10）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为（    ）

（答案：B   参考方法：由题可知点P在以AB为直径的圆弧上，则OC-OP最短为2）

2.（2016.河北.25思考）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中点P在弧AQ上但不与点A重合，但点Q可与点B重合.

发现  弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，求l；

思考  点M与AB的最大距离为 ，此时点P，A间的距离为 ；点M与AB的最小距离为 ，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为         .

参考方法：过点M作AB的垂线，垂足为N，则MN=OMsin∠AOM，根据锐角三角函数的性质，当∠AOM=90°时，即AB∥PQ时，点M到AB的距离最大，则PA距离易求；同理可得：当点Q与点B重合时，点M到AB的距离最小.）

3.（2016.天津.24题（Ⅲ））在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；

（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）

4.如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边OA和OB上，且OM=1，ON=3，点P，Q分别在OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是        

（答案：√10，参考方法：分别作点N和点M关于边OA和OB的对称点N'、M'，连接对称点与两边的交点即为QP两点，易得∠N'OM'=90°，由勾股定理的最小值为√10）

5.（2016.陕西.25）

问题提出

（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（答案：（1）略     （2）.2√5+10

    参考方法：如图所示，是点线线点的中两点分开类型.）