图像处理中各种边缘检测的微分算子简单比较

不同图像灰度不同，边界处一般会有明显的边缘，利用此特征可以分割图像。需要说明的是：边缘和物体间的边界并不等同，边缘指的是图像中像素的值有突变的地方，而物体间的边界指的是现实场景中的存在于物体之间的边界。有可能有边缘的地方并非边界，也有可能边界的地方并无边缘，因为现实世界中的物体是三维的，而图像只具有二维信息，从三维到二维的投影成像不可避免的会丢失一部分信息；另外，成像过程中的光照和噪声也是不可避免的重要因素。正是因为这些原因，基于边缘的图像分割仍然是当前图像研究中的世界级难题，目前研究者正在试图在边缘提取中加入高层的语义信息。

在实际的图像分割中，往往只用到一阶和二阶导数，虽然，原理上，可以用更高阶的导数，但是，因为噪声的影响，在纯粹二阶的导数操作中就会出现对噪声的敏感现象，三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。二阶导数还可以说明灰度突变的类型。在有些情况下，如灰度变化均匀的图像，只利用一阶导数可能找不到边界，此时二阶导数就能提供很有用的信息。二阶导数对噪声也比较敏感，解决的方法是先对图像进行平滑滤波，消除部分噪声，再进行边缘检测。不过，利用二阶导数信息的算法是基于过零检测的，因此得到的边缘点数比较少，有利于后继的处理和识别工作。

各种算子的存在就是对这种导数分割原理进行的实例化计算，是为了在计算过程中直接使用的一种计算单位；

Roberts算子：边缘定位准，但是对噪声敏感。适用于边缘明显且噪声较少的图像分割。Roberts边缘检测算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子,Robert算子图像处理后结果边缘不是很平滑。经分析，由于Robert算子通常会在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘图像常需做细化处理，边缘定位的精度不是很高。

Prewitt算子：对噪声有抑制作用，抑制噪声的原理是通过像素平均，但是像素平均相当于对图像的低通滤波，所以Prewitt算子对边缘的定位不如Roberts算子。

Sobel算子：Sobel算子和Prewitt算子都是加权平均，但是Sobel算子认为，邻域的像素对当前像素产生的影响不是等价的，所以距离不同的像素具有不同的权值，对算子结果产生的影响也不同。一般来说，距离越远，产生的影响越小。

Isotropic Sobel算子：加权平均算子，权值反比于邻点与中心点的距离，当沿不同方向检测边缘时梯度幅度一致，就是通常所说的各向同性。

在边沿检测中，常用的一种模板是Sobel 算子。Sobel 算子有两个，一个是检测水平边沿的；另一个是检测垂直平边沿的 。Sobel算子另一种形式是各向同性Sobel(Isotropic Sobel)算子，也有两个，一个是检测水平边沿的，另一个是检测垂直平边沿的 。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比，它的位置加权系数更为准确，在检测不同方向的边沿时梯度的幅度一致。由于建筑物图像的特殊性，我们可以发现，处理该类型图像轮廓时，并不需要对梯度方向进行运算，所以程序并没有给出各向同性Sobel算子的处理方法。
由于Sobel算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。美中不足的是，Sobel算子并没有将图像的主体与背景严格地区分开来，换言之就是Sobel算子没有基于图像灰度进行处理，由于Sobel算子没有严格地模拟人的视觉生理特征，所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。 在观测一幅图像的时候，我们往往首先注意的是图像与背景不同的部分，正是这个部分将主体突出显示，基于该理论，我们可以给出阈值化轮廓提取算法，该算法已在数学上证明当像素点满足正态分布时所求解是最优的。

上面的算子是利用一阶导数的信息，属于梯度算子范畴。

Laplacian算子：这是二阶微分算子。其具有各向同性，即与坐标轴方向无关，坐标轴旋转后梯度结果不变。但是，其对噪声比较敏感，所以，图像一般先经过平滑处理，因为平滑处理也是用模板进行的，所以，通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。

Laplacian算子一般不以其原始形式用于边缘检测，因为其作为一个二阶导数，Laplacian算子对噪声具有无法接受的敏感性；同时其幅值产生算边缘，这是复杂的分割不希望有的结果；最后Laplacian算子不能检测边缘的方向；所以Laplacian在分割中所起的作用包括：（1）利用它的零交叉性质进行边缘定位；（2）确定一个像素是在一条边缘暗的一面还是亮的一面；一般使用的是高斯型拉普拉斯算子（Laplacian Gaussian,LoG)，由于二阶导数是线性运算，利用LoG卷积一幅图像与首先使用高斯型平滑函数卷积改图像，然后计算所得结果的拉普拉斯是一样的。所以在LoG公式中使用高斯函数的目的就是对图像进行平滑处理，使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉确定边缘位置的图像；图像的平滑处理减少了噪声的影响并且它的主要作用还是抵消由Laplacian算子的二阶导数引起的逐渐增加的噪声影响。

几种常用的边缘检测算子主要有Roberts边缘检测算子，Sobel算子、Prewitt算子、Krisch边缘算子，高斯-拉普拉斯算子。 边缘大致可以分为两种，一种是阶跃状边缘，边缘两边像素的灰度值明显不同；另一种为屋顶状边缘，边缘处于灰度值由小到大再到小的变化转折点处。
边缘检测的主要工具是边缘检测模板。我们以一个一维模板为例来考察边缘检测模板是如何作用的。假设有一个模板 和一幅图象

可以看出，图象中左边暗，右边亮，中间存在着一条明显的边缘，是一个典型阶跃状边缘。使用模板 进行模板操作后，结果如下

可以看出，边缘检测后的图象在原图象暗亮边缘处的灰度值高很多。观察时，就能发现一条很明显的亮边，其他区域都很暗，这样就起到了边缘检测的作用。
模板的作用是将右邻点的灰度值减去左邻点的灰度值作为该点的灰度值。在灰度相近的区域内，这么做的结果使得该点的灰度值接近于0；而在边缘附近，灰度值有明显的跳变，这么做的结果使得该点的灰度值很大，这样就出现了上面的结果。这种模板就是一种边缘检测器，它在数学上的涵义是一种基于梯度的滤波器，习惯上又称边缘算子。我们知道，梯度是有方向的，和边缘的方向总是垂直的。模板是水平方向的，而上面那幅图象的边缘恰好是垂直方向的，使用模板就可以将它检测出来。如果图象的边缘是水平方向的，我们可以用梯度是垂直
方向的模板 检测它的边缘。如果图象的边缘是45。方向的，我们可以用模板 检测它的边缘。

常用的边缘检测模板有Laplacian算子、Roberts算子、Sobel算子、log（Laplacian-Gauss）算子、Kirsch算子和Prewitt算子等。

二.Roberts算子

如果我们沿如下图方向角度求其交叉方向的偏导数，则得到Roberts于1963年提出的交叉算子边缘检测方法。该方法最大优点是计算量小，速度快。但该方法由于是采用偶数模板，如下图所示，所求的(x,y)点处梯度幅度值，其实是图中交叉点处的值，从而导致在图像(x,y)点所求的梯度幅度值偏移了半个像素（见下图）。

Roberts算子的推导：

Sobel算子

Sobel算子也有两个，一个是检测水平边缘的模板 ，另一个是检测水平边缘的模板 。与Prewitt算子相比，Sobel算子对于象素位置的影响作了加权，因此效果更好。

sobel算子的另一种形式是各向同性Sobel算子，也有两个模板组成，一个是检测水平边缘的 ，另一个是检测垂直边缘的。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比，位置加权系数更为准确，在检测不同方向的边缘时梯度的幅度一致。

Sobel算子的推导：

Prewitt算子

Prewitt算子由两部分组成，检测水平边缘的模板

和检测垂直边缘的模板

prewitt算子一个方向求微分，一个方向求平均，所以对噪声相对不敏感。

laplacian算子

Laplacian算子定义为

它的差分形式为



表示成模板的形式就是 。Laplacian算子另外一种形式是，也经常使用。Laplace算子是一种各向同性算子，在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈，因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下，使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。