【数学】

一、大革命时期

1793年9日5日，雅各宾派专政或者更直白的翻译作「恐怖统治时期」开始。作为巴黎科学院院士、度量衡主席的大数学家约瑟夫·拉格朗日，因为出生在意大利都灵，属于需要被「专政」的出生于敌国的人。多亏了大化学家拉瓦锡为他说明情况，也许还要感谢拉格朗日巨大的名声以及他努力克己守法的信条，才得以幸免。

可惜拉瓦锡本人就没有那么幸运了，不过那是另外一个故事。

革命当然不会信任这些数学家。在此前的几个世纪里，整个欧洲的数学家大都出身于专科院校，当时的大学基本不提供数学的高等教育。而在法国，许多数学家更是出身于军事院校，在政治立场上较为可疑。

比如被称为法国天体力学之父的拉普拉斯就曾经担任巴黎军官学校的教授，是1783年拿破仑入学考试的主考官之一。又比如傅里叶年轻的时候曾经申请加入炮兵，结果被拒绝：「傅里叶，出身不高贵，不得加入炮兵，虽然他是第二个牛顿。」画法几何学（也称投影几何学）的创始人蒙日的研究更是因为属于军事机密，长期无法公布。

在大革命期间，军事院校都是保皇党的地盘，所以共和国逐渐关闭了这些「不忠诚」的院校，改而建立新式综合院校，培养缺少贵族背景、「热爱自由与平等并痛恨专制统治」的法国公民成为科学家和工程师，这就是后来的巴黎综合理工学院（École Polytechnique）。

学院招收学员的唯一标准就是「政治合格」——似乎是一个有点眼熟的选拔方式。虽然蒙日制定了一个雄心勃勃的「革命时期课程」纲要，而且来讲授的都是像拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、蒙日、拉客鲁瓦这样的大数学家，无奈学生们的基础实在是太差，完全无法理解课程的内容。据说数学分析开课一个月就只剩下三分之一的学生还能坚持了。

不过这倒也不能完全责怪学生们，毕竟即使到了两百年后的今天，大学生们依然对数学分析、线性代数、概率论等课程畏之如虎，把拉格朗日、柯西、洛必达、拉普拉斯、傅里叶等先贤画成纸人天天扎的也不是不存在。而且十八世纪的数学比今天大学里教授的高等数学要「难」多了，这个我们后面会讲。

即使学院的初创时如此困窘，蒙日和其他数学家们的努力还是没有白费。综合理工学院不但为法国提供了无数科学家、数学家、工程师，改变了法国的教育状况，成为欧洲和美洲理工学院的典范。学院的数学教材，特别是拉克鲁瓦编写的算术、三角学、解析几何、综合几何、微分学、积分学等，被翻译成多种语言，对欧洲乃至英美的数学产生了极大的影响。

法国大革命时期另外一项重要的成就是度量衡制度的标准化。我们今天所熟悉的长度单位米、质量单位克、面积单位公亩等等都是在那个时候，由包括拉格朗日、拉普拉斯、蒙日等人在内的度量衡制定的。

虽然最初「米」Meter被定义为经过巴黎的子午线长度的千万分之一，和今天的「光在真空中1/299792458秒行进的距离」，已经有所差别。但只要接触过英美的磅推力、p.s.i（磅每平方英寸）这套反人类的单位，就不得不感叹拉格朗日他们的功绩。

这个也有很多最后「失败」了的作品。比如著名的法国共和国历或法国大革命历法，这是一个诗人与数学家合作脑洞大开的范例，也许还和法语数字太拗口有关也说不定。总之这套历法除了留下诸如「雾月政变」这样听起来特别浪漫的名词外，早已被人们遗忘在历史书中。

再比如，时间和角度单位的十进制化，在这些数学家和科学家看来，十二进制和六十进制这样奇怪的东西完全不符合理性的精神嘛。所以一天应该是十小时，一小时应该是一百分钟，一分钟应该是一百秒。可惜这套时间单位在第一共和国结束后就废除了。好在到了互联网时代，一种继承了这种理性主义思路，为了弥补时区差异对计算机通讯影响的「互联网时间」又出现了：把一天分成一千个拍，一拍分为一百个分拍。

同时创立的百分度单位在今天的工程或土木测量中依然也有使用，但是普通大众可能很少接触到。

即使在大革命这样动荡难测的环境下，法国的数学家们依然能够独领欧陆风骚，一时之间欧洲数学精粹尽在法兰西。

二、数学家们

数学家并非一直如现在人们惯常印象中那种厚瓶底的眼镜、乱糟糟的头发、不合身的衣服、永远心不在焉、不善言辞的形象。

十八世纪，数学研究尚未完全区分理论和应用，数学家的大多数研究课题都来自于物理或工程问题，因此一个国家科学院数学家的多少直接关系到国力和军队战斗力，有名的数学家都是国王们的座上宾客。比如普鲁士的腓特烈大帝为了让拉格朗日来柏林继承欧拉的位置，曾经写信给他说：“欧洲最大之王希望欧洲最大之数学家在他的宫廷中。”

另一方面，数学家里也有像拉普拉斯、傅里叶那样的政治投机分子。

拉普拉斯很有政治嗅觉，在恐怖统治以前就离开了巴黎这个政治大屠场。拿破仑甫上台，就任命他为内政部长——虽然半年后就因不称职被撤换，拿破仑讽刺他说：「拉普拉斯先生想把无穷小的精神带到工作上去」；后来又让他成为国会议员、授予伯爵爵位。拿破仑对拉普拉斯如此厚道，而且私人关系密切，可是当拿破仑失败的时候，拉普拉斯却毫不犹豫的投票赞同拿破仑退位。波旁王朝复辟，他又晋升为侯爵，可谓左右逢源、风光无二。

相比之下傅里叶就嫩多了。同样因为出身低微在革命中支持拿破仑，并且作为拿破仑的战友和伙伴平步青云封为男爵，继而在拿破仑失势时背叛，和拉普拉斯一样效忠路易十八。1815年拿破仑复辟，他毫不介意的重新效忠拿破仑，拿破仑竟然也毫不介意的重新接受他。滑铁卢之后，他再次没有节操的宣誓效忠路易十八，结果被愤怒的国王流放了。

当然，数学家里还是有蒙日这样因为理念，一生追随皇帝陛下至死不渝的例子。

所以说以为数学家都是书呆子就大错特错了。

三、第二次数学危机

前面说过，十八世纪的高等数学比今天「难」的多，这是有原因的。

自牛顿和莱布尼兹以来，数学分析已经成为一个专门的数学分支，而且被广泛应用，但是一直到拉格朗日的时代，包括无穷级数、收敛性、连续性和可微性，甚至极限、无穷小、导数这样基础的概念都非常不明确，经常处于争论中。虽然数学家们一直在使用这些东西，但是还没有人能系统化的给出任何清晰的定义和证明。

作为微积分最重要创始人之一的牛顿也要负上一定责任。在他用拉丁文写成的不朽巨著《自然哲学的数学原理》里这么说明他发明的概念「流数」（约略等于导数）：

这是牛顿能够给出最清楚的抽象说明了，已经非常接近极限的概念，但是牛顿并没有点破这一点，也没有给出一个有效的证明。牛顿试图使用几何方法进行证明，以便让自己的论著像欧几里得几何学一样严密，但是显然不太成功。

莱布尼兹比牛顿成功的地方是他创造了大体沿用至今更加方便使用的微积分符号体系，但是他对极限概念的说明也不比牛顿强到哪里去。他在1684年发表的最重要的一篇关于微积分的论文，内容短小题目却很长的《适用于有理数和无理数的最大值、最小值和切线的新方法以及他们的一种值得注意的计算方法》，被他的好友贝努利兄弟评论为「与其说是解释，不如说是谜。」

后来的数学家倒也不是没有试图澄清这些概念，或是严格证明各种定理，比如麦克劳林，不过最重要的工作还是要等到拉格朗日以及在法国大革命爆发那年（1789年）才出生的柯西来完成。特别是后者的工作，才是解决第二次数学危机的关键之一，相信大家对微积分课本一开始「柯西收敛准则」那套把肠子都绕成死结的ε-δ语言还有印象吧。（虽然准确的讲，这个最终形式是魏尔斯特拉斯改进后的结果）

关于柯西，还有个趣闻。据说柯西是如此的高产，一生共写过八百篇论文，导致巴黎科学院杂志购买纸张的开销剧增，于是他们限制每个人发表论文的数量，柯西只好自己办了份杂志发表自己的论文。

在数学分析以外，代数学、几何学、数系等所有分支几乎面临各种类似的问题：数学家们天才横溢的发现了各种新的概念和数学方法、定律，却都等不及严格证明或是想明白具体意义就发表出来。

达朗贝尔在1743年的一番话很适合概括这个时代：

四、尾声

1793年元旦前一个月的时候，在远离欧洲漩涡中心巴黎的俄罗斯，一个姓罗巴切夫斯基的平凡的小文员又喜添一子。包括那时的高斯在内，没有人会预料到这意味着什么。（完）