小学数学应用题21种类型总结(附例题、解题思路)
小学数学应用题的21种类型类，讲解详细，内容全面，例题经典
1、归一问题
【含义】
在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量÷份数=1份数量
1份数量×所占份数=所求几份的数量
另一总量÷(总量÷份数)=所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1
买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?
解
(1)买1支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)
列成综合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)
答:需要1.92元。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷)
列成综合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)
答:5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?5×7=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?105÷35=3(次)
列成综合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)
答:需要运3次。
2、归总问题
解题时，常常先找出"总数量"，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓"总数量"是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
1份数量×份数=总量
总量÷1份数量=份数
总量÷另一份数=另一每份数量
先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。
服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?
(1)这批布总共有多少米?3.2×791=2531.2(米)
(2)现在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)
列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套)
答:现在可以做904套。
小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?
(1)《红岩》这本书总共多少页?24×12=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?288÷36=8(天)
列成综合算式24×12÷36=8(天)
答:小明8天可以读完《红岩》。
食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?
(1)这批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)
列成综合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)
答:这批蔬菜可以吃25天。
3、和差问题
已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2
简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?
甲班人数=(98+6)÷2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷2=46(人)
答:甲班有52人，乙班有46人。
长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。
长=(18+2)÷2=10(厘米)
宽=(18-2)÷2=8(厘米)
长方形的面积=10×8=80(平方厘米)
答:长方形的面积为80平方厘米。
有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答:甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?
"从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐"，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(14×2+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答:甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
4、和倍问题
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
总和÷(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数×几倍=较大的数
简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?
(1)杏树有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)
答:杏树有62棵，桃树有186棵。
东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?
(1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答:东库存粮280吨，西库存粮200吨。
甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)÷(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)÷(28-24)=6(天)
答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?
乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，
甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28
乙数=28×2-4=52
丙数=28×3+6=90
答:甲数是28，乙数是52，丙数是90。
5、差倍问题
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
两个数的差÷(几倍-1)=较小的数
果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?
(1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)
答:果园里杏树是62棵，桃树是186棵。
爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?
(1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)
答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?
如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此
上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答:上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此
剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=72÷9=8(天)
答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6、倍比问题
有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
总量÷一个数量=倍数
另一个数量×倍数=另一总量
先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。
100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)
列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)
答:可以榨油1480千克。
今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?
(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400×160=64000(棵)
列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)
答:全县48000名师生共植树64000棵。
凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?
(1)800亩是4亩的几倍?800÷4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111×200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000÷800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?2222200×20=44444000(元)
答:全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。
7、相遇问题
两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?
392÷(28+21)=8(小时)
答:经过8小时两船相遇。
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?
"第二次相遇"可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
"两人在距中点3千米处相遇"是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米，因此，
相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×3=84(千米)
答:两地距离是84千米。
8、追及问题
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间
好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?
(1)劣马先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:好马20天能追上劣马。
小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是
(500-200)÷[40×(500÷200)]
=300÷100=3(米)
答:小亮的速度是每秒3米。
我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)
=220÷20=11(小时)
答:解放军在11小时后可以追上敌人。
一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为16×2÷(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]
=88×4
=352(千米)
答:甲乙两站的距离是352千米。
9、植树问题
按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
线形植树棵数=距离÷棵距+1
环形植树棵数=距离÷棵距
方形植树棵数=距离÷棵距-4
三角形植树棵数=距离÷棵距-3
面积植树棵数=面积÷(棵距×行距)
先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?
136÷2+1=68+1=69(棵)
答:一共要栽69棵垂柳。
一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?
400÷4=100(棵)
答:一共能栽100棵白杨树。
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?
220×4÷8-4=110-4=106(个)
答:一共可以安装106个照明灯。
给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?
96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块)
答:至少需要400块地板砖。
例5
一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?
(1)桥的一边有多少个电杆?500÷50+1=11(个)
(2)桥的两边有多少个电杆?11×2=22(个)
(3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏)
答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。
10、年龄问题
这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住"年龄差不变"这个特点。
可以利用"差倍问题"的解题思路和方法。
爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?
35÷5=7(倍)
(35+1)÷(5+1)=6(倍)
答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，
明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?
(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)
(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)
列成综合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年)
答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。
甲对乙说:"当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁"。乙对甲说:"当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁"。求甲乙现在的岁数各是多少?
这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:
过去某一年 今年 将来某一年
甲 □岁 △岁 61岁
乙 4岁 □岁 △岁
表中两个"□"表示同一个数，两个"△"表示同一个数。
因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，
因此二人年龄差为(61-4)÷3=19(岁)
甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)
乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)
答:甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。
11、行船问题
行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?
由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)
答:这只船逆水行这段路程需用32小时。
甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?
由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍，
所以，水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)
又因为，乙船速-水速=360÷15，
所以，乙船速为360÷15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以，乙船顺水航行360千米需要
360÷40=9(小时)
答:乙船返回原地需要9小时。
12、列车问题
这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。
火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速
火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速-乙车速)
火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)
÷(甲车速+乙车速)
一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?
火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。
(1)火车3分钟行多少米?900×3=2700(米)
(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)
列成综合算式900×3-2400=300(米)
答:这列火车长300米。
一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?
火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为
8×125-200=800(米)
答:大桥的长度是800米。
一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?
从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为
(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答:需要73秒。
一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?
如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。
150÷(22+3)=6(秒)
答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。
13、时钟问题
就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。
分针的速度是时针的12倍，
二者的速度差为11/12。
通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。
变通为"追及问题"后可以直接利用公式。
从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?
钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以
分针追上时针的时间为20÷(1-1/12)≈22(分)
答:再经过22分钟时针正好与分针重合。
四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?
钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(5×4)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(5×4-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(5×4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。
(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)
(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)
答:4点06分及4点38分时两针成直角。
六点与七点之间什么时候时针与分针重合?
六点整的时候，分针在时针后(5×6)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。
(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)
答:6点33分的时候分针与时针重合。
14、盈亏问题
根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有:
参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有:
参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差
参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差
给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?
按照"参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差"的数量关系:
(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)
(2)有多少个苹果?3×12+11=47(个)
答:有小朋友12人，有47个苹果。
修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?
题中原定完成任务的天数，就相当于"参加分配的总人数"，按照"参加分配的总人数=(大亏-小亏)÷分配差"的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)
这条路全长为300×(22+4)=7800(米)
答:这条路全长7800米。
学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?
本题中的车辆数就相当于"参加分配的总人数"，于是就有
(1)有多少车?(30-0)÷(45-40)=6(辆)
(2)有多少人?40×6+30=270(人)
答:有6辆车，有270人。
15、工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出"一项工程"、"一块土地"、"一条水渠"、"一件工作"等，在解题时，常常用单位"1"表示工作总量。
解答工程问题的关键是把工作总量看作"1"，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
变通后可以利用上述数量关系的公式。
一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
题中的"一项工程"是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位"1"。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答:两队合做需要6天完成。
一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
解一
设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7÷(1/6-1/8)=168(个)
答:这批零件共有168个。
解二
上面这道题还可以用另一种方法计算:
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以，这批零件共有24÷1/7=168(个)
一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12=560÷10=660÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)
答:还需要5小时才能完成。
一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(1×4×5)，2个进水管15小时注水量为(1×2×15)，从而可知
每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15
又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，
所以，2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2)
=8.5≈9(个)
答:至少需要9个进水管。
16、正反比例问题
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。
解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?
由条件知，公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)
答:这条公路总长3600米。
张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?
做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=91×4X=91×4÷28X=13
答:91分钟可以做13道应用题。
孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?
书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完，就有24∶36=X∶15
36X=24×15X=10
答:10天就可以看完。
17、按比例分配问题
所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。
从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和
先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。
学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?
总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188(棵)
二班植树560×48/140=192(棵)
三班植树560×45/140=180(棵)
答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?
3+4+5=1260×3/12=15(厘米)
60×4/12=20(厘米)
60×5/12=25(厘米)
答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。
如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=1717×9/17=9
17×6/17=617×2/17=2
答:大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。
某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?
80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)
答:三个车间一共820人。
18、百分数问题
百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示"率"，也可以表示"量"，而百分数只能表示"率";分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号"%"。
在实际中和常用到"百分点"这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。
掌握"百分数"、"标准量""比较量"三者之间的数量关系:
百分数=比较量÷标准量
标准量=比较量÷百分数
一般有三种基本类型:
(1)求一个数是另一个数的百分之几;
(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;
(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?
(1)用去的占720÷(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%
答:用去了10%，剩下90%。
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?
本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)÷525=0.2=20%
或者1-420÷525=0.2=20%
答:男职工人数比女职工少20%。
红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?
本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此
(525-420)÷420=0.25=25%
或者525÷420-1=0.25=25%
答:女职工人数比男职工多25%。
红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?
(1)男职工占420÷(420+525)=0.444=44.4%
(2)女职工占525÷(420+525)=0.556=55.6%
答:男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。
19、"牛吃草"问题
"牛吃草"问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫"牛顿问题"。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
草总量=原有草量+草每天生长量×天数
解这类题的关键是求出草每天的生长量。
一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?
草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求"多少头牛5天可以把草吃完"，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答:
(1)求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(1×10×20);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
1×10×20=原有草量+20天内生长量
同理1×15×10=原有草量+10天内生长量
由此可知(20-10)天内草的生长量为
1×10×20-1×15×10=50
因此，草每天的生长量为50÷(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100
(3)求5天内草总量
5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125
(4)求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头)
答:需要5头牛5天可以把草吃完。
一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘
水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?
这是一道变相的"牛吃草"问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于"牛数")，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算:
(1)求每小时进水量
因为，3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量
10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量
所以，(10-3)小时内的进水量为1×5×10-1×12×3=14
因此，每小时的进水量为14÷(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30
(3)求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是
30÷(17-2)=2(小时)
答:17人2小时可以淘完水。
20、鸡兔同笼问题
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
第一鸡兔同笼问题:
假设全都是鸡，则有
兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)
假设全都是兔，则有
鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)
第二鸡兔同笼问题:
兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)
鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?
假设35只全为兔，则
鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)
兔数=35-23=12(只)
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)
鸡数=35-12=23(只)
答:有鸡23只，有兔12只。
2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?
此题实际上是改头换面的"鸡兔同笼"问题。"每亩菠菜施肥(1÷2)千克"与"每只鸡有两个脚"相对应，"每亩白菜施肥(3÷5)千克"与"每只兔有4只脚"相对应，"16亩"与"鸡兔总数"相对应，"9千克"与"鸡兔总脚数"相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)
答:白菜地有10亩。
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?
此题可以变通为"鸡兔同笼"问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)
日记本数=45-15=30(本)
答:作业本有15本，日记本有30本。
(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?
假设100只全都是鸡，则有
兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
鸡数=100-20=80(只)
答:有鸡80只，有兔20只。
有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?
假设全为大和尚，则共吃馍(3×100)个，比实际多吃(3×100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以"小"换"大"，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚
(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答:共有大和尚25人，有小和尚75人。
21、方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?
22×22=484(人)
答:参加体操表演的同学一共有484人。
有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
10-(10-3×2)?
=84(人)
答:全方阵84人。
有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?
(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:这队学生共160人。
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:棋子有40只。
有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?
第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵)
答:这个三角形树林一共有15棵树。
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