拉格朗日的妙招

1.拉格朗日乘数法

2.拉格朗日恒等式

拉格朗日乘数法解不等式首先给出拉格朗日乘数法的粗略表达:
(以下定理中假设所有函数的性质都足够好)
设m个变量满足p个约束条件,,...,,那么目标函数的极值点可用如下算法算出:
记m p元函数,其中称作拉格朗日乘数
那么目标函数的极值点一般都满足如下m p元一次方程组:
且,i=1,2,...,m;j=1,2,...,p;其中表示F对的偏导数（就是把看作自变量，其他的变量看作常数求导）
（方程数量恰好为m p）
那么我们通过解以上方程得出来的解究竟是极大值点，极小值点还是一般的点呢？这个，我们可以用黑塞矩阵来检验，这里不再赘述。考试中可以把得出来的解都放到目标函数中去检验一下，最大的那个就是极大值点喽。
例题：
这是一道很著名的高考不等式题:
已知:,,
求的最大值
下面用拉格朗日乘数法解题:
记
列方程组:
=0
=0
=0

解得：
或或其轮换
带入xyz得，后者较大
故

最后说一点，一般高考的不等式都可以用基本不等式或消元降次来解，除非考场上实在想不出怎么解，才能用此法。（当然此法也会有失效的时候，只能凭运气）
一般看到没有分式，没有根式的时候才会优先考虑此法，因为分式和根式的求导太麻烦啦~拉格朗日恒等式的用处（自招、竞赛向）

首先给出拉格朗日恒等式的一般形式:

首先，由拉格朗日恒等式可知：平方数和集合对乘法封闭。

即：若,那么

这个结论在数论中很有用

其次，这个不等式由于右边是平方和的形式，所以可以放缩，从而在不等式中有一定的应用。

即：由拉格朗日恒等式可以推出柯西不等式:

当且仅当时取等。

这个不等式的应用十分广泛，不少高考、自招、竞赛题中都有应用。

最后，给出一个用拉格朗日恒等式做的不等式题:

已知:

,求的最大值和最小值。

解：