一直以来，我们学习数学的方法都是错的

阅读也好，学习也好，要在得法。在这个海量信息的大数据时代，学习的目的在于训练自己的思维，在于把自己的大脑锻造成快速处理复杂信息的CPU、一个高精尖的处理器，而不是一块随时可擦写、存储无用信息并经常在考试之后就格式化得一干二净的硬盘。这样的硬盘用的时间长了，不经常清理磁盘也是要留下后遗症的。

几年前，曾看过一篇《中学教师向院士疾呼“救救数学”》的新闻（现在算是旧闻了）。大体背景是中国科学院大学举办了一场中学教师回大学的活动。一直热心数学教育的数学家杨乐院士，发表了对中学数学教育的几点看法，随后则是现场来自全国各地的二十几位中学数学教师纷纷向杨老诉苦。我高中毕业也有十多年了，不过，看到报道中谈及的诸多情形，还是似曾相识，颇有不吐槽不快活之感。核心的问题是方法。

报道中说，有教师反映，“这些孩子在初中时基础没有打好，一个简单的因式分解变形就让很多学生折戟在60分大关。”

其实，这背后大约就隐含了某种方法问题。我们都知道，因式分解法与公式法是解决一元二次方程的两种方法。相对来说，公式法更一般，因式分解则要依赖一定的条件。当然，如果条件具备，因式分解法会更便利些。出题者设计的题目通常是走向两个极端，要么是一眼便能看穿的、可用因式分解求解的，要么是用公式法算了半天到最后得到一个带根号极变态的答案。高考命题者似乎形成了某种规律或说默契，一般便于用特殊技巧解决的题目和一般便于用几何方法解决的题目，多出现在选择题、填空题之中，就是要一个结果，不考察具体过程。在这种情况下，因式分解法是有不少益处的。

在方法与个案、一般与特例、普遍与异象之间，中国的数学传统有一个趋向，即侧重于后者。比如你发现勾三股四弦五是一组勾股数，你还可以找到勾五股十二弦十三也是一组勾股数。你还能发现杨辉三角这样的特例。但是我们没有把这些系统化地表达为毕达哥拉斯定理、二项式定理这样的抽象和一般理论。或者是限于包括言文分离、科举制度等方面的原因，有些规律虽然发现了，但很难通过教育的传布让更多人习得。想想很长一段时间以来的奥数狂热，在很大程度上不也是隐含了同样的动机？小学奥数大量存在的、实际是对不定解方程的“把玩”，其实正是中国自古以来一以贯之的对个案、特例、异象的穷尽探索，非如此无以言天才、称神童。这类拟古式的纯粹智力训练的意义究竟多大，值得思考。

杨辉三角

金庸在《射雕英雄传》中写黄蓉被裘千仞所伤，郭靖带她去找南帝医治，途遇瑛姑在那里琢磨数学题。其实这个“瑛姑难题”就是古代数学思想中有关物不知数问题或被称为中国剩余定理的大衍求一术：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”以现代的表达方式就是这样一组方程：3x 2=a，5y 3=a，7z 2=a。四个未知数、三个方程，显然是不定解方程。不定解方程是中国古代最能显示天才神童英雄本色的。

数学不只是数字和计算，更是逻辑和证明。人不能永远靠归纳、联想、类比、比喻来表达思想、了解世界、发现真理。中国古代数学思想有着丰富的实践土壤，从天文地理到水利灌溉，甚至风水占卜，土木建筑，这些在古代社会的基本生存需要引导着具有强烈应用性的数学的发展。然而遗憾的是，中国的代数与几何思想虽源远流长，却始终未能发展出一套具有抽象性符号语言的公理体系。

看一看市面上层出不穷、绞尽脑汁教小孩子逆向求解的那些题目和算法，有时不免让人哭笑不得。比如，有人用吹哨抬腿法来解决鸡兔同笼问题，什么第一声哨抬起一只脚，第二声哨又抬起一只脚，此时鸡们都一屁股坐地上了，只剩下兔子还站着。这样口沫翻飞地绕了半天弯子，讲了半天段子，小孩子接收到的只是充满笑点的特例。何不直接教他们消元法？

报道还说，当前的中学数学教育，除了因式分解的“缺位”外，仍有不少在教师们看来本不该淡化和删减的东西，也见不着了。一位高中高级教师说，现在一些高中需要用得到的“重心、内心、外心”定义，“很多娃娃都不清楚”。

重心、内心、外心的概念和相应的练习，包括射影定理及其引申，其实90年代的初中课本也没有，但老师不敢不额外花时间和精力去教，否则做题时就要傻眼，因而不至于像报道中所说，把责任推到高中去。现在想想原因，大概是那时流通的题目大量还是此前版本教材所配套的，很多“精编”、“题库”中都还是有涉及上述“超纲”知识点的内容。如果当下依然，那么教材的“减负”就只是一种“账面”上的好看，于事无补。但如果考试时确实不考了，这些数学老师还这样哭穷怨念，又不大合常理。由此看，这几项内容大概确实减不得，减了十多年了，仍然离不开它们。

不过，我们还需深入想一想，当初许多额外补充的定理，教师和学生又有多少是真的把它真的当做“定理”来学习和掌握的？我指的是，其实我们大部分人，还是从十分实用的角度，再次“化方法为特例”。掌握了这些特例，甚至死记硬背下来，做题目时可以方便地直接套用。这种对方法的玩世不恭和“调戏”，会带来什么后果呢？其实那篇报道中也已经有了答案。

报道引述一位大学教师的话，有一些数学专业的大学生，不清楚什么是“定理已经证明完了”，这就和他们没有经过严格的平面几何训练有关。

不清楚什么是“已经证明完了”，这是何等可怕的事！

这很容易让我们联想到另一个案例，就是高中数学中的数学归纳法。它在高考试卷中总能占据12分左右的分值，一旦考试中出现数学归纳法的题目，几乎就等同于送分题。学生只消按着背好的规则从前往后推，推不动的时候，再看看要求证明的结论，然后从后往前推，正反两头一堵，中间模糊一下，哪怕未必真明白，到最后往往也能瞎猫碰上死耗子，通关了事。而阅卷老师呢，往往也没法甄别学生是真的清楚，还是根本不清楚什么是“已经证明完了”，最后多半会高抬贵手，放他一马。如果方法本身成了一种禁锢人思维的固定套路，可以让人滥竽充数而无法检验其是否真正掌握，那么这样的教学效果和考试效果都应该打一个问号。

方法具有某种扩张性，越是普遍性的方法，越是具有这个特点。而我们的数学教学从小学到高中的指导思想似乎经历了一个大转弯，小学时特别重视解题思路的多元化、多样性，到了中学、特别是高中又逐渐走向方法的一元化。

报道中引用了一位中学老师的一个例子，一道有关立体几何的题目，问题是希望给出一个位置关系，教师们通常的教法是“用向量来求解”。

实际上，这就是把几何问题转化为了代数问题，如此十分简单，学生们死记硬背几个代数公式即可。这一点，在高考解题中十分常见。然而，这种“偷巧”的方法却不利于培养学生的空间想象能力。

这里有一个问题或者困惑是，我们越小的时候，同时也是对辨别各种概念范畴越弱的时候，越是被训练多元化的思维，逆向思维，固然有时这种“训练”本身是很野蛮的，不被告知逻辑、只要求硬背的，但毕竟还是有多种道路可供选择。可是越成熟之后，越被导向一种一览无余的固定标准和规范。所以报道中提到的向量，高中出现后，几何就被转化成代数了，就可以脱离其形象而被抽象为数字坐标，那种几何特有的冥想和透视、即视感逐渐淡出学生的头脑。初中开始大面积使用方程后，之前在小学实施的一系列多元路径也被一统江湖了。这到底是简化了问题，便利了人的思维，节省了时间，还是也有副作用？

如果说顺向思维、标准路径更有效率，那么小学的很多所谓“思维训练”，是否可以看作无用功？这个推论成立的话，那就应该把方程提前到小学四年级，其立竿见影的效果恐怕就是：一直高烧不退的奥数会溃不成军，因为它就是看准了小学不教方程的顺向思维，才得以拓展其生存空间。沿着这个思路继续往前走就会看到，相对于所学的一般知识和掌握的普遍方法来说，小学的时间确实过于漫长而被浪费了。有文章考证了六年制起源于美国，五年制则是中国大跃进多快好省的产物。不过，要知道很多地方是五年制小学搭配四年制初中，小学难为中学，搞朝三暮四的幼态持续，机械地凑足九年义务教育，这又是何苦来哉？

回到数学教学的话题，虽然在小学高年级已经开始接触到方程的初步——“未知数”，但最多止步于一元一次。而实际上一元升二元，比一次升二次的接受度应该快得多，完全没必要只是在小学做个引子，到初中再去展开。小学和初中之间的衔接完全可以更紧密而不是现在这样松散。在数学教学上，至少可以让学生从接触到未知数概念开始，一路探索下去，直到二次方程的铜墙铁壁下，才适宜暂停脚步、休整待命。

这不是站着说话不腰疼，不是超越了小孩子学习能力的拔苗助长。真实情况是，大人们很多时候低估了孩子们的适应能力，更低估了他们一旦萌发内生兴趣便可快速地从疑问、问题上升到问题意识进而形成的强大自主学习动力和潜能。最终是，以爱之名，减了“负担”，败了兴致，拖了后腿，误了子弟。归根结底，要削数学教育之足以适高考之履，在选拔‘人才’和教授有用知识之间达致某种平衡，这两点，都是很大的挑战。

【注】本文原标题为《要怎样才能学会数学》