运算能力的解读

有幸参加了长春举行的《吉林省数学教学大奖赛》，历时两天的时间，在这两天中收获颇多。接下来我就结合这学期参加的国培数学学习情况和听课内容，谈一下我对数学运算能力的所感所悟。

一、什么是运算能力呢？

《数学课程标准(2011版)》指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题。”这两句话，实际上刻画了运算能力的三个主要表现特征:正确运算、理解算理、掌握算法。

运算能力的形成可以分成两个阶段：

第一阶段：能够按照一定的程序与步骤进行正确运算，称为运算技能。运算技能的特征是正确、熟练。

第二阶段：不仅会正确、熟练地进行运算，而且能根据题目条件寻求合理、简洁的运算途径来解决问题，这个阶段方称之为运算能力。

运算能力是运算技能与逻辑思维等能力的有机整合，不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。

二、运算在小学数学课程中占有重要的地位，它有着怎样的历史渊源呢？

四则运算在我国起源很早，春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法——筹算。后来，在长期使用算筹的基础上发明了算盘，算盘是我国古代一项重要的发明。

小学数学从它的前身“小学堂算术”诞生之日起，就将计算列为首要的学习任务。清末初等小学堂学制五年，以学习整数四则计算为主，兼及小数，并授以珠算。然后高等小学堂学制四年，学完“整数、小数、分数的加、减、乘、除”。

辛亥革命后，学堂改称学校，学制也有变动，但“算术要旨，在使儿童熟习日常之计算”始终没变。1912年颁布的《小学校教则及课程》中明确提出“算术宜用笔算及珠算，尤宜令熟习心算”，即出现“三算”：口算、笔算和珠算。1932年颁布的《小学课程标准算术》中首次出现了“培养儿童解决日常生活问题的计算能力”和“养成儿童计算敏捷和准确的习惯”这两条课程目标。计算与应用在目标中是捆绑在一起的,计算的目的是为了解决问题。

新中国成立后，1952年颁发的《小学算术教学大纲（草案）》中提到关于计算的两项目标：1、儿童应获得“整数四则运算……口算和笔算的熟练技巧” 2、“解各种整数应用题的技能”,从这个时候开始，计算与解决问题“分道扬镳”。

1963年的《全日制小学算术教学大纲（草案）》中，提出了四大能力：1、“培养学生正确、迅速的四则计算能力，2、正确地解答应用题的能力，3、具有初步的逻辑推理的能力,四、空间观念”。由此开始，计算能力成为小学算术“四大能力”之首，对运算的要求也达到了“顶峰”，如要求“比较熟练地计算三、四位数乘除多位数”。这个时期的教学，为达成“计算准确、迅速，方法合理、灵活”的要求，常常导致大量的、机械、重复的训练现象，这种练习使得孩子们在熟能生巧的同时，也伴随着熟能生厌现象的存在。这引起了我们的思考，后来因为计算机科学技术的发展，使得数学研究依赖单纯计算的可能越来越小，即便是在日常生活与工作中，计算也可以由计算器来完成。在这种情况下，2001年的《数学课程标准（实验稿）》中，提出了六个核心词，其中就没有了“计算能力”，取而代之的是“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化”，并强调“避免将运算与应用割裂开来”。

十年后，《数学课程标准（2011年版）》将核心词增加至十个，“计算能力”改为“运算能力”，又回来了。

三、“运算能力”重新回来的意义是什么呢？

从小学数学课程的实际来看，整数、小数、分数的计算始终是学习的主线，其他数学知识都必须跟随这根主线的进程而穿插、展开。例如，平年、闰年的判断，离不开多位数除以一位数的计算；长方形周长的计算，需要以乘加运算为基础。否则，判断法则与计算公式都无法掌握、巩固。过去如此，现在、将来还会如此。

再有，运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”、“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。

同时，我们应该看到小学四则运算是进一步学习整式、分式运算的基础，也是学习其他理科知识不可或缺的基础。

因此，计算教学中“必要的”、而不是“过剩的”基础练习，并达到一定的技能和技巧是必须的，这一点毋容置疑。

所以，2011版数学课程标准中，“运算能力”的回归，是一种必然的趋势。

四、运算和计算所表达的意思一样吗？

在数学中，运算的本质是集合之间的映射。但在数学教育领域，通常将运算视为根据规则对具体对象进行变形的演绎过程。

运算具有十分广泛的内涵，不仅包括数值计算，以及代数式、方程的变形，还包括集合、向量、逻辑等的演算和数据的某些处理。

过去的小学数学教学大纲，按习惯称计算能力，现在的义务教育课程标准，小学、初中必须兼顾，无疑统称运算能力更为确切。

小学数学的用词习惯，两个数的加减乘除叫四则计算，多个数的加减乘除叫四则运算。事实上，计算、运算两词混用的现象比较普遍。即使在高等数学里，微积分运算、微积分计算也常常是同义词。

五、诸子百家对运算有哪些解读？

一是认为运算能力是一种综合能力。在中国中学教学百科全书·数学卷里，是这样定义的：“运算能力是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合”

那其他专家又是如何解读的呢？

百家讲坛1：徐有表等主编的数学教学与智能发展中是这样描述的：“运算能力不是简单地加、减、乘、除的计算，而是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关的由低级到高级的综合能力”[2]。

百家讲坛2：苏联教育心理学家克鲁捷茨基的研究，并给出了数学能力的九种成分：① 能概括数学材料，并能从外表上不同的方面去发现共同点的能力；② 能使数学材料形式化，并用形式的结构，即关系和联系的结构来进行运算的能力；③ 能用数字和其他符号来进行运算的能力；④ 连续而有节奏地逻辑推理的能力；⑤ 能用简缩的思维结构来进行思维的能力；⑥ 能逆转心理过程，从正向的思维系列到逆向的思维系列的能力；⑦ 思维的机动灵活性，即从一种心理运算过渡到另一种心理运算的能力；⑧ 数学记忆能力；⑨ 能形成空间概念的能力，借助形象化（直观）能力。这些成分，有些与运算能力直接相关，其他的也与运算能力有或多或少的联系。

百家讲坛3：在林崇德主编的.中学数学教学心理学一书中是这样描述运算能力的。

“运算能力主要表现为：根据中学数学的法则、公式等进行数学运算中表现出来的正确、合理、灵活、熟练程度上；还表现在理解运算的算理，根据题目条件寻求最合理、最简捷运算途径的水平上”。

百家讲坛4：在曹才翰主编. 中国中学教学百科全书·数学卷一书中，是这样理解学生学生运算能力表现在数学解题活动的几个方面：

（1）迅速、正确地感知数学题目的形式结构(关系及其特点)的概括化能力(对数学材料的形式化知觉能力)。

（2）根据题目类型(运算和关系的特点)，正确地定出解法模式，根据运算法则、运算律或关系及其性质，定出化归的方向、解算的程序和变换的方法。

（3）心理过程的灵活性，即心理活动迅速重组的能力。打破原有的解法模式而代之以一个新的模式的能力。多方面去试探题目的解法，摆脱思维定势的影响。

（4）力求解法简洁、清楚、经济与合理。

（5）对题目类型、解法模式和原则等的概括化记忆(这种记忆特别有利于数学知识和方法的迁移)。”

六、2011版的课程标准中是如何定义运算能力的？

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中指出，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”

这两句话，实际上刻画了运算能力的三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理（运算途径简洁，是方法合理的自然结果）。也可以就字面意思解读为：运算能力主要是有根有据地正确运算的能力；它的作用是促进理解与应用。言下之意：运算能力的培养，主要依靠根据法则和运算律提高正确性，通过理解算理与灵活运用运算解决问题发展能力。

此外，运算能力具有一定的层次性、发展性。由非负数运算到有理数运算，再到实数运算；由整式运算，到分式、根式运算；由具体运算到抽象运算。运算能力随着知识面的逐步拓展、抽象程度的渐次提高而不断发展。

七、从能力心理学的视角，运算能力可以如何分解？

观点1：陆书环.在2000年第一期的数学教学研究杂志上发表的——略论数学运算能力的结构及其培养策略为例，他是这样分解的：

① 对运算问题的最初定向；

② 对具体运算问题的抽象和概括能力；

③ 缩短推理过程和简化相应运算环节的能力；

④ 对运算方法的转换能力；

⑤ 优化运算过程和运算方法的能力；

⑥ 记忆能力。

观点2：简洪权.在2000年第1-2合刊中发表的论文《高中数学运算能力的组成及培养策略》所阐述的观点：

运算能力由五种能力组成：

① 对题目信息的挖掘能力；